標題:

symmetric form

發問:

1. If x+y+z=a, x^2+y^2+z^2=b, x^3+y^3+z^3=c, then xyz=? 2. If x+y+z+t=a, x^2+y^2+z^2+t^2=b, x^3+y^3+z^3+t^3=c, x^4+y^4+z^4+t^4=d, then xyz+xyt+xzt+yzt=? xyzt=? (in terms of a,b,c,d) 更新: 2. xyz+...+yzt=(a^3-3ab+2c)/3!, xyzt=(a^4-6a^2 b+8ac+3b^2 -6d)/4!

最佳解答:

1. (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) ==> xy + yz + zx = (a2 - b)/2 (x + y + z)(x2 + y2 + z2) - (x3 + y3 + z3) = (x + y + z)(xy + yz + zx) - 3xyz ==> ab - c = a(a2 - b)/2 - 3xyz ==> xyz = (a^3 + 2c - 3ab)/6 2, a = x + y + z + t b = x2 + y2 + z2 + t2 c = x3 + y3 + z3 + t3 d = x? + y? + z? + t? Let P2 = xy + xz + xt + yz + yt + zt P3 = xyz + yzt + ztx + txy P4 = xyzt S2 = (xy)2 + (xz)2 + (xt)2 + (yz)2 + (yt)2 + (zt)2 Therefore a2 = b + 2(P2) ==> P2 = (a2 - b)/2 b2 = d + 2(S2) ==> S2 = (b2 - d)/2 ab - c = a(P2) - 3(P3) ==> P3 = (a^3 + 2c - 3ab)/6 ac - d = b(P2) - a(P3) + 4(P4) ==> ac - d = b(a2 - b)/2 - a(a3 + 2c - 3ab)/6 + 4(P4) ==> P4 = (a? + 8ac + 3b2 - 6a2b - 6d)/24

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其他解答:

?雨後晴空? ( 知識長 )真好人,幫人不辭勞苦啊!讚!|||||What's wrong, 雨後晴空 ? 2013-10-24 07:55:22 補充: So sorry, 這麼麻煩你. Yahoo有被停權呢事?|||||1) (x + y + z)2 - (x2 + y2 + z2) = a2 - b 2(xy + yz + zx) = a2 - b x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)(x2 - xy + y2) + z3 - 3xyz = (x + y) ( (x + y)2 - 3xy ) + z3 - 3xyz = (x + y)3 + z3 - 3xy(x + y) - 3xyz = (x + y + z) (x2 + 2xy + y2 - xz - yz + z2) - 3xy(x + y + z) 2013-10-23 21:24:43 補充: = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) ? c - 3xyz = a ( b - (a2 - b)/2 ) 2c - 6xyz = 2ab - a3 + ab xyz = (a3 + 2c - 3ab) / 6 2013-10-23 21:48:19 補充: 2) x , y , z , t are 4 roots of the equation v?- (x + y + z + t)v3 + (xy + xz + xt + yz + yt + zt)v2 - (xyz + xyt + xzt + yzt)v + xyzt = 0 (x + y + z + t)2 = a2 x2 + y2 + z2 + t2 + 2(xy + xz + xt + yz + yt + zt) = a2 b + 2(xy + xz + xt + yz + yt + zt) = a2 xy + xz + xt + yz + yt + zt = (a2 - b)/2 2013-10-23 21:59:51 補充: Putting v = x , y , z , t respectively , and then summing up : x? + y? + z? + t? = a(x3 +y3 +z3 +t3) - (a2 - b)/2 (x2 +y2 +z2 +t2) + (xyz + xyt + xzt + yzt)(x + y + z + t) - 4xyzt ? d = ac - (a2 - b)b/2 + (xyz + xyt + xzt + yzt)a - 4xyzt ... (1) or 2013-10-23 22:01:04 補充: x3 + y3 + z3 + t3 = a(x2 +y2 +z2 +t2) - (a2 - b)/2 (x +y +z +t) + 4(xyz + xyt + xzt + yzt) - (xyzt/x + xyzt/y + xyzt/z + xyzt/t) ? c = ab - (a2 - b)a/2 + 3(xyz + xyt + xzt + yzt) ... (2) By (2) : 2c = 2ab - a3 + ab + 6(xyz + xyt + xzt + yzt) xyz + xyt + xzt + yzt = (a3 + 2c - 3ab) / 6 2013-10-23 22:01:21 補充: (2)*a - (1)*3 : ac - 3d = a2b - (a2 - b)a2/2 - 3ac + 3(a2 - b)b/2 + 12xyzt 12xyzt = 4ac - 3d - a2b + (a2 - 3b)(a2 - b)/2 24xyzt = 8ac - 6d - 2a2b + a?- 4ba2 + 3b2 xyzt = (a? + 3b2 + 8ac - 6d - 6ba2) / 24 2013-10-23 23:30:39 補充: 可能我回答中有某些字眼觸犯了 Yahoo知識+ 的刪除機制,被無理移除,扣50點。 之後我打算發表文章供參考算了, 豈料唔夠半分鐘再被移除! 再扣50點! 心有不甘唯有發意見,發現第二題其中一段意見被扣50點。 於是把第二題的斷片全部刪除(扣了幾點),重試一次,結果歷史重演,又無50點~ 只好無奈地再刪除斷片(再扣幾點),重寫有問題的那部分意見,終能暢所欲言, 功德圓滿。 2013-10-23 23:43:23 補充: 乾燥貓,你驚唔驚收到夠多違規通知信後會被停權? 過去的回憶及努力也會化為烏有...|||||Enlightened by that last night? 2013-10-23 23:34:19 補充: 係呀,我都試過~ 因為無keep住check email~ 所以第一次被刪都未知咩事,只係知道無野post出黎~ 跟住諗住係意見打番~ 佢繼續刪~但我都未知~只係見無野出~ 繼續post,咁會被佢不斷刪和扣點~ 都唔知咩內容觸動左個系統~ 2013-10-24 00:27:19 補充: 唉~ 我最近都同你的部隊成員傾過偈~ 似乎呢度已經無左管理員~ 好似只係等大家自生自滅~ 「鍾意黎就黎,唔鍾意玩咪走囉~」 似乎我地感受到的就係咁~ 其實我都仲想跟進一下,究竟而家仲有無停權呢回事? 事實上我岩岩都出現左一d問題~ 或者如果我真係係呢度得罪左d人既,咁走開下都好既~ 不過今次就唔會好似上次咁走五六年咁耐ga啦~ 2013-10-24 14:06:02 補充: 師姐請放心,我頗有信心 雨後前輩 同埋 我 都唔會被停權~ 我地都唔係亂答題的人,即使係得罪左人(我指我),最多都係被人不斷檢舉,如果真係有管理員的話,佢會見到我被檢舉係無理的,反而會救我。而家正正代表無管理員,既然係咁,就應該無停權呢樣野~ 當然以上只屬猜測推想,以大家數學人來說邏輯性的確有限~ 但只好這樣想,想得太多也沒用~ ^__^ 師姐妳放心,大家都是認真對數學有興趣的人,被人戲弄也不應影響大家對數學的態度。 BTW,見到妳打中文真的很高興,很少見~ 保重~我解決私事,稍後才回來~
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    zogfly3 發表在 痞客邦 留言(0) 人氣()